"Are truth degrees about truth?"

国際会議 拙論

直前まで大幅に修正し続けたため、事前に提出した要旨とは大幅に違う内容になってしまった。
内容は以下の通り。

abstract

  1. Objective: to analyze the truth conception in fuzzy logics by formalizing "truth degrees".
  2. Motivation: try to explain how truth degree relate to truth
    1. if we think [0,1] are truth values, then it is trivial,
    2. however, there are many fuzzy logics which are not complete for [0,1], so we try to explain the truth degree without mentioning truth values.
  3. Methodology: to formalize truth degree theory in truth theory:
    1. truth predicate is needed to formalize a truth theoretic degree,
    2. truth degree theory require that truth theoretic degree is identical with the (formalized version of) algebraic degree (which is so called a ``truth degree").
  4. Discussion: However, they need not to be identical: we introduce a counterexample (arithmetic with total truth predicate witihin Lukasiewicz logic case).

Conclusion

  1. We try to formalize truth degree theory without mentioning truth values.
  2. We can define (algebraic) degree in the algebra, but it is not trivial that how such degrees relate truth.
  3. If we want to formalize ``truth degrees", we needed a truth predicate and truth theoretic machinery.
  4. Truth degree theory can be formalized as supposing that algebraic degrees are identical with truth theoretic degrees.
  5. However some truth theory (as PALTr2) provides its counterexample because of \omega-inconsistency.
  6. Since what so called a``truth degrees" are algebraic degrees, so called a truth degrees need not to be about truth.

我々は、ファジイ論理の真理値の意味論を考えるとき、その代数的意味論（MV代数など）の構造をそのまま真理に関する構造と見なすことが多いし、この仮定は真理の度合い理論の前提となっていますが、それは本当に正しいのでしょうか。真理に関する構造は、真理述語を使用した真理理論の枠組みでないと正確に語ることは出来ないし、その際にもし（メタ理論となる真理理論として）ファジイ論理上の全域的真理述語を持つ算術 PALTr2を採用すれば、代数的構造(algebraic degree)と真理理論的な構造(truth theoretic degree)が大きく食い違う例が構成できます。さらに、その場合はメタ理論=対象理論=PALTrとなり、意味論的に閉じた言語となる上に、ファジイ論理をファジイ論理をメタ理論として分析していることになり、ファジイ論理の特徴を生かすにはこの分析の枠組みはふさわしいのではないか。と、この意味で、真理の度合い理論は、ファジイ論理の分析として適切でないケースがあり得る、と主張しました。
反響ですが、用語の間違い（degreeとdegreesの使い分けとか）や混乱（truth theoretic degreeってtruth degreeと紛らわしいのでtruth tehoretic orderingにしてくれとか、メタ理論と対象理論で同じ記号を使うのはやめてほしい、とか）は色々指摘されました。また、H氏からはHPSの定理について、その解釈に一部異論を指摘されました。しかし、全体的には好意的で、特にチェコのグループに妙に受けました。不思議だ。
あと、H氏からは、私が代数的意味論の代数的値を文の真理値と混同してはならないと主張したことに対し、「代数的値だって論理的結合子の振る舞いを説明するのだから、真理値と呼ぶことは可能だ」と反論されました。そこで、「私は直観主義者が真理値は0/1しか許さず、ハイティング代数の値を決して真理値とは呼ばないと言う例に倣っています」とTさん直伝の例を持ち出すと「ああ、連中はそういうよね」と納得してくれました。しかし、「真理値」という言葉は基礎的な用語でありながら、人によってまったく用法が違い、その持つあいまいさが多くの混乱の原因になっているような気がします。