"Quantum Logic in Dagger Kernel Categories" (Bart Jacobs)

"Quantum Logic in Dagger Kernel Categories" (Chris Heunen, Bart Jacobs)の内容の紹介、論文はこちらから入手可能。
Dagger category *1を、Dの任意のmap f　についてkernel（ $\dagger$ についてmonoidになる）を付け加えたdagger kernel categoryを考えると、この上で

kernelのpullbackが存在し、
kernelは合成に関して閉じており、
orthomodularityが成立する

等が言える。この結果、projection $p(m): m\circ m^{\dagger}$ を定義すると、圏の上で論理演算に対応する演算子 $\exists f(n), \wedge, (-)^{\bot}, \supset, \&$ などが簡単に定義できる。
この意味で、dagger categoryは、量子論理だけでなく、多くの論理（部分構造論理など？）の基本構造を捉えることが可能である。もちろん、現段階では量子論理についてしか結果はない。また線型論理に関しては *-operatorを持つため、話は本質的に違い、単純には拡張できないだろう。

ところで、論理結合子の導入のところで "Sasaki hook"を使うのですが、J氏が「Sasakiって日本人だよね、誰か知らないか？」と聴衆に呼びかけたところ、誰も知りませんでした。

*1:dagger は、 $(-)^{\dagger}: D^{op}\to D$ で、obecjtsについて $X^{\dagger}=X$ であり、morphismについては $f^{\dagger\dagger}=f$ を満たす。ヒルベルト空間と連続な線型変換のなす圏 Hilb はその例になる。ただし、その場合、 $\dagger$ は内積から別途定義される。