"Distinguishing non-standard natural numbers in a set theory within Lukasiewicz logic"

拙論 logic

私の発表は10:30-11:15、内容はAML論文の結果の紹介。一人だけ算術の話だから浮くかもと恐れていたが、すんなりと興味を持ってもらえた様子。楽しんで頂けたのではないかと思っております。
pdfファイルを大学のサイトにおいてあります。興味のある方はどうぞご覧ください。発表の要旨は以下の通り。

  1. Set theory: H with the comprehension principle within Lukasiewicz infinite-valued logic.
  2. A known result:
    1. H is ω-inconsistent i.e. there exists φ such that, in any model M of H,
      1. for any standard natural number n, |φ(n)|_{M}=0 holds,
      2. |(∃ x∈ω) φ(x)|_{M}=1: "ω must contains a non-standard natural number".
  3. We will show two corollaries of the above theorem:
    1. The induction scheme on ω implies a contradiction in H.
    2. Overspill: In any model M of H, the following hold:
      1. The truth value of the sentence which can be interpreted as "Any infinite subset of ω must contain a non-standard natural number" is 1.
      2. Applying this, we can prove that the truth value of the sentence which can be interpreted as "there is an infinite descending sequence of initial segments of ω" is 1.

また研究内容のMotivationは以下の通り。

(1) Motivation: Characterizing the general form of the recursive definition

  1. H proves a general form of recursive definition: (∃ X) (∀ x) x∈ X ≡φ(x,X).
    1. For example, any partial recursive functions can be represented in H.
  1. It has been conjectured that H is enough strong to develop an arithmetic.
    1. Skolem: ``it may be possible to derive a significant amount of mathematics" in H.
    2. Hajek once suggested that crisp Peano arithmetic can be developed in H.
  1. However, the recursion contradicts to the induction on ω...
    1. Hajek finally showed that the induction principle on ω implies a contradiction in the set theory with the comprehension principle within L∀
  2. So, we try to investigate how similar/different the arithmetic within H and classical PA are.

個人的には、「数学的帰納法 (induction) と一般化された再帰法 (recursion) は、ファジイ論理上で矛盾をする」という事実は、もっと注目されてしかるべきだと思います。実際、「砂山のパラドックスを表現する集合を構成する」という話でも、あれではrecursionによってθを構成し、そしてθに関してはinductionが成立しないというのが根幹でした。その意味で曖昧さに関してもこの性質が重要であるということになります。