多値論理と真理述語: 失われるものは何か？
２値論理において、totalな真理述語を仮定すると「嘘つきパラドックス」を招き、矛盾を起こすことが知られている。一方、多値論理（例えばファジイ論理）では真理述語を仮定しても矛盾は導かない。それでは枠組みを多値論理にして真理述語を仮定するとき、本当に失うものは何もないのでしょうか？
いえ、面白そうな話をしていたので。id:kururu_goedelさん、id:yoriyukiさん、いつも読ませていただいております。
ファジイ論理では真理述語も包括原理もどちらも矛盾を導かないことが知られています。どちらも矛盾を導くには縮約規則が必要だ、ということです。ファジイ論理は古典論理の縮約規則を弱めた部分構造論理であり、矛盾を導くぎりぎりのところにあります。真理述語も包括原理も矛盾を導く構造は同じなのですが、ここでは算術上で真理述語を仮定する話を。
ファジイ論理上の真理述語をもつ算術の体系では、Hajek-Paris-ShepherdsonによるPALTrとRestallによる L∞#T とありますが、どちらもPAの公理をファジイ論理上に移し、真理述語に関する公理（規約T）を加えた形をしています。･･･あ、ファジイ論理と書きましたが、正確にはLukasiewicz無限値述語論理です。
PALTrは任意の算術の式（真理述語を含まない論理式）φにたいし、PA+古典論理でφが証明可能なこととPALTrでφが証明可能なこととが同値になります。もちろんPALTrでは、φが証明可能であることと、任意のモデル上でφの真理値が1であることが同値になります。つまり、多くの算術の式φは0もしくは1の真理値を持つが、一方嘘つき文は真理値0.5を持つ、というモデルになるわけです。
しかしこういう体系は以下の問題点を持つことが明らかになりました。
どっちも証明は同じで、対角化によって嘘つき文もどきをつくる、というものです。インフォーマルにいえば、どちらも「そのモデルは必ず超準的自然数を持つ」ことが証明された、と言い換えることができるでしょう。古典論理の下のPAで不完全性定理が「超準的自然数を持つモデルを排除できない」ということを主張することと比べても、遙かに強い欠点であろうと思います。
というわけで、多値論理にしても、ある程度の証明力を持つような体系では、やはり何か（強いていうと「標準的な自然数」に関する我々の直感？）が失われるのではないかと思われます。
